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Análise real é o ramo da análise matemática que lida com o conjunto dos números reais e as funções reais. A análise real surgiu da necessidade de prover provas rigorosas às ideias intuitivas do cálculo tais como continuidade, limite, derivadas, integrais e sequências de funções. A apresentação da análise real em textos introdutórios geralmente começa com provas simples em teoria dos conjuntos, uma definição precisa do conceito de função e uma introdução aos números naturais e a importante técnica de prova chamada de indução matemática. Continuando, os números reais podem ser tanto introduzidos da maneira axiomática quanto construídos a partir de sequências de números racionais. As primeiras consequências são derivadas, sendo as mais importantes as propriedades do valor absoluto como a desigualdade triangular e a desigualdade de Bernoulli. O conceito de convergência, central para a Análise, é introduzido via limites de sequências. Muitas leis que governam os processos limites podem ser derivadas, e muitos limites calculados. Séries infinitas, as quais pertencem a um tipo especial de sequências, são estudadas neste ponto. Séries de potências servem para definir muitas funções centrais, como a função exponencial e as funções trigonométricas. Vários tipos de subconjuntos dos números reais, como conjuntos abertos, conjuntos fechados e espaços compactos, e suas propriedades são introduzidas em seguida. O conceito de continuidade pode agora ser definido via limites. Mostra-se que a soma, o produto, a composição e o quociente de funções contínuas resulta em uma função contínua e prova-se o Teorema do Valor Intermediário. A noção de derivada pode ser introduzida como um particular processo limite e as familiares regras de diferenciação do cálculo podem ser provadas rigorosamente. Um teorema central aqui é o teorema do valor médio. Então pode-se fazer integrais (de Riemann e de Lebesgue) e provar o teorema fundamental do cálculo, tipicamente usando o teorema do valor médio. Neste ponto, seria útil estudar as noções de continuidade e convergência em uma base mais abstrata, para um posterior estudo de espaços de funções. Isto é feito em topologia e usando espaços métricos. Conceitos como compacidade, completeza, conectividade, continuidade uniforme, separabilidade, mapas de Lipschitz, “contractive maps” são definidos e investigados. Finalmente, pode-se tomar limites de funções e tentar mudar a ordem de integrais, derivadas e limites. A noção de convergência uniforme é importante neste contexto. Aqui é útil ter um conhecimento rudimentar em espaços vetoriais normalizáveis e espaços munidos de produto interno. séries de Taylor também podem ser estudadas.
Elon Lages Lima
Era pesquisador emérito do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), instituição da qual foi diretor em três períodos distintos. É autor de mais de trinta livros sobre matemática, alguns dos quais se destinam à formação e aperfeiçoamento de professores do ensino médio. Coordenou o projeto IMPA-VITAE que, de 1990 a 1995, realizou cursos de aperfeiçoamento para professores de matemática em onze cidades de oito estados brasileiros. Tal projeto constituiu o modelo no qual se basearam os convênios que a CAPES firmou em nove estados, inclusive o Rio de Janeiro. Iniciou sua carreira como professor secundário em Fortaleza, Ceará. Bacharelou-se em matemática pela Universidade do Brasil (hoje UFRJ), em 1953 e obteve os graus de mestre (MSc) (1955) e doutor (PhD) (1958) em matemática pela Universidade de Chicago. É um Guggenheim Fellow, membro titular da Academia Brasileira de Ciências (ABC) e da Academia de Ciências dos Países em Desenvolvimento (TWAS). É Professor Honoris Causa da Universidade Federal do Ceará (UFC), da Universidade Federal da Bahia (UFBA), da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), da Universidade de Brasília (UnB) e da Pontificia Universidad Católica del Perú (PUCP), Doutor Honoris Causa pela Universidade Federal de Alagoas (UFAL), pela Universidade Federal do Amazonas(UFAM) e pela Universidad Nacional de Ingeniería (UNI). Ganhou duas vezes o Prêmio Jabuti da Câmara Brasileira do Livro pelos livros Espaços Métricos e Álgebra Linear, e recebeu o prêmio Anísio Teixeira do Ministério da Educação. Foi membro do Conselho Superior da FAPERJ de 1987 a 1991. Foi também membro do Conselho Nacional de Educação.